Thursday, 7 January 2016

gns_ua: (Default)
(заметки после вчерашнего разговора с gemelen про засовывание в мозг абстрактных сущностей)

Насколько я помню, в моё время давали простые дроби как first class object, с ними ещё некоторое время возились, а уж потом говорили ну окай, вот тебе фокус - 3/10 это 0.3 а 742/1000 это 0.742.

В книге Методика арифметики (частично доступна на google books) рассматривается в том числе проблема очередности и обосновывается именно такой порядок.

Легко понять, как это работает: 0.3 * 0.742 мы перемножаем "числители" (3*742) и "знаменатели" (10*1000), и получаем 2226/10000 или 0.2226. Аналогично сравнение десятичных дробей можно обосновать, исходя из правила сравнения простых дробей: 0.3 <?> 0.742 - как считается, нормальный школьник думает что 742 намного, намного больше 3, и поэтому надо объяснить, что вот сейчас мы домножим к общему знаменателю, как позволяет общее правило 3/10 = 30/100 = 300/1000, а 300 vs 742 уже намного очевиднее.

Это выглядит как фреймворк, в котором новую функциональность для частного случая мы вводим, используя существующую. С этим подходом, на мой взгляд, есть две проблемы. Я, конечно, не учоный педагог из НАНУ чтобы писать об этом монографии, но зато у меня есть целый ряд наблюдений in vivo над разными поколениями учащихся, пригоршня рефлексии, общие соображения архитектуры и свежий взгляд.

Первая проблема заключается в том, что это противоречит принципам остального школьного курса. Везде, вплоть до 10-11 класса, идут как раз частные случаи, практика использования которых затем обобщается и расширяется область определения. Самые очевидные примеры - расширение натуральных чисел до целых или действительных до комплексных. Площади простых фигур получаются не интегрированием а сами по себе. И только в 10-11 классе / вузе мы начинаем большой рефакторинг на твёрдой аксиоматической базе.

Это так сказать восходящий подход. Он совпадает во-первых с реальным историческим развитием, во-вторых с общими ноучными принципами, а вот это уже важно именно методически - в мозг ложится сама концепция расширения горизонтов, до-определения с минирефакторингом.

Кстати, насколько я понимаю, в семидесятых школьный курс имени Колмогорова пытался как раз пойти дедуктивным путём. Откуда ни возьмись появляются уравнения с иксами, множества, и всё это вот в итоге всё равно оказывается выхолощенным мусором, возникающим к тому же как дар Прометея. Вся беда в том, что строгость доказательства вообще-то ортогональна индуктивному выводу понятий. Да и, собственно, с какого именно уровня абстракции начать имплементировать детали?

Десятилетний мозг не может (даже мой) сразу зохавать ваши асбтрактные алгебры с группами Ли, чтобы потом на этой базе научиться подсчитывать сдачу за хлеб. И определение натуральных чисел по Пеано никак в этом не поможет. И определение по Фреге-Расселу сначала потребует продраться через множества и рекурсию, а потом оставит у разбитого корыта в плане всё-таки что-нибудь посчитать, эх ты, а говорил математику знаешь. Самое смешное, что десятичные дроби нам всё равно понадобятся для диагонализации.

Так вот, о дробях. Можно просто сказать, что в десятичной дроби в конце нули дописываются невозбранно. Что длина десятичной части важна в операциях и должна быть выровнена. А при _умножении_ правая часть умножается отдельно и выравнивается до точки слева.

Это просто и удобно. А уж потом мы говорим крекс-фекс-пекс и записываем всё это в виде 3/10 и 742/1000, показываем как домножать на общий множитель и что это то же самое что мы делали с нулями, а потом говорим что, знаешь, в знаменателе ведь не только кратное 10 может быть.

Это отлично сработает, потому что наша вторая проблема заключается в том, что нормальный двенадцатилетний человек уже всё знает про десятичные дроби. Он видел их в калькуляторе, которым пользуется каждый день. Наблюдениями он уже установил, что 12.300 + 3.75 будет не 15.375 а 16.075, что 0.375 меньше чем 0.5, и т.д., это просто факты не требующие "доказательства" знаменателями.

Нормальный двенадцатилетний мозг считает вот эти 9.323 "числом" а не какой-то там "дробью". Для него 0.5 это не 1/2, это _результат_ 1 разделить на 2, легко проверяемый калькулятором. Ты можешь долго рассказывать 1/2 == 1*5/2*5 == 5/10 == 0.5, но даже 5/10 проверят на калькуляторе потому что это какие-то хихи дроби а 0.5 настоящее годное число.

Если мы пытаемся считать десятичные дроби специальной хитрой записью обычных, вся эта нисходящая методология заканчивается тоской и унынием. Понятие эквивалентности, а не простого численного равенства, надо заталкивать отдельно.

----

А вот разумная, на мой взгляд, альтернатива:

- мы просто возьмём и в пятом классе расскажем как обращаться с числами с точкой, и эти правила прекрасно будут совпадать с экспериментальными (!) результатами. Мы расширяем целые числа до "чисел с точкой".

Мозг при этом испытывает warm fuzzy feeling от дофаминового выброса, потому что поиск 5закономерностей - это вот прямо та работа нейронной сети, за которую мы её ценим, а совпадение результатов с внешними - её цель и вознаграждение.

А следующим ходом мы говорим, что вот это ещё можно написать как 5/10... или 50/100, потому что есть правила сокращения и домножения, автоматически рисующие нам 1/2 и 3/6. И появляется ещё одна абстракция. Полезная, удобная, выводимая индуктивно из имеющихся, дедуктивно обосновывающая их и ещё разные другие случаи.

(no subject)

Thursday, 7 January 2016 02:01
gns_ua: (Default)
Христос ся рождає - славімо Його!

Profile

gns_ua: (Default)
gns_ua

April 2017

M T W T F S S
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Expand Cut Tags

No cut tags

Style Credit